تمرین : انتگرال $ \int {{1 \over {1 + {e^x}}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {{1 \over {1 + {e^x}}}dx} \]حل تمرین :
صورت و مخرج کسر درون انتگرال (Integral) را در $ {e^{ - x}} $ ضرب می کنیم :
\[ \times {{{e^{ - x}}} \over {{e^{ - x}}}} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \int {{1 \over {1 + {e^x}}}dx} = \int {{{{e^{ - x}}} \over {{e^{ - x}} + 1}}dx} \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {e^{ - x}} + 1 \]بنابراین :
\[ du = - {e^{ - x}}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - du = {e^{ - x}}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int {{{{e^{ - x}}} \over {{e^{ - x}} + 1}}dx} = - \int {{1 \over u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{1 \over y}dy} = \ln \left| y \right| + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ - \int {{1 \over u}du} = - \ln \left| u \right| + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = {e^{ - x}} + 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - \ln \left| u \right| + C = - \ln \left| {{e^{ - x}} + 1} \right| + C \] \[ - \ln \left| {{e^{ - x}} + 1} \right| + C = - \ln \left( {{e^{ - x}} + 1} \right) + C \]بنابراین :
\[ \int {{1 \over {1 + {e^x}}}dx} = - \ln \left( {{e^{ - x}} + 1} \right) + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 508
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10049
گزینه ها 
نظرات 0 0 0