تمرین : انتگرال $ \int\limits_{\ln 4}^{\ln 9} {{e^{{x \over 2}}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_{\ln 4}^{\ln 9} {{e^{{x \over 2}}}dx} \]حل تمرین :
برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10089 ) :
\[ \int {{e^{ay}}dy} = {1 \over a}{e^{ay}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \int {{e^{{x \over 2}}}dx} = {1 \over {{1 \over 2}}}{e^{{x \over 2}}} + C = 2{e^{{x \over 2}}} + C \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int\limits_{\ln 4}^{\ln 9} {{e^{{x \over 2}}}dx} = \left[ {2{e^{{x \over 2}}}} \right]_{ \ln 4}^{ \ln 9} = \cr & = 2\left[ {{e^{{{\left( { \ln 9} \right)} \over 2}}} - {e^{{{\left( { \ln 4} \right)} \over 2}}}} \right] \cr & = 2\left[ {{e^{\ln 3}} - {e^{\ln 2}}} \right] \cr} \]در عبارت بالا، از نکته زیر استفاده شده است :
می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & {{\left( {\ln 9} \right)} \over 2} = {1 \over 2}\left( {\ln 9} \right) = \ln \left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right) = \ln \left( {\sqrt 9 } \right) = \ln 3 \cr & {{\left( {\ln 4} \right)} \over 2} = {1 \over 2}\left( {\ln 4} \right) = \ln \left( {{4^{{1 \over 2}}}} \right) = \ln \left( {\sqrt 4 } \right) = \ln 2 \cr} \]اکنون به نکته زیر توجه کنید :
می دانیم که ( کلید شماره 20004 ) :
\[ {e^{\ln A}} = A \]با توجه به نکته بالا :
\[ 2\left[ {{e^{\ln 3}} - {e^{\ln 2}}} \right] = 2\left[ {3 - 2} \right] = 2 \]بنابراین :
\[ \int\limits_{\ln 4}^{\ln 9} {{e^{{x \over 2}}}dx} = 2 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 507
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10036
گزینه ها 
نظرات 0 0 0