سلام.
ابتدا صفحه زیر را در خود سایت آپارات ببینید که api هایی را برای دریافت اطلاعات مربوط به ویدئوها در اختیار شما قرار می دهد :

http://www.aparat.com/api

نمی دونم راه مستقیمی برای دسترسی به خود فایل ویدئو در اختیار برنامه نویسان قرار داده اند یا نه، اگر راه مستقیمی پیدا نکردید، همان طور که می دانید، در خود صفحات نمایش ویدئو، لینکی برای دانلود ویدئو وجود دارد. بنابراین تنها کافی است که آدرس لینک را پیدا کنید تا دسترسی به ویدئو داشته باشید.
بنابراین باید کل کدهای HTML صفحه مربوط به ویدئو را دریافت کرده و در یک رشته (String) ذخیره کنیم. بعد تمامی لینک ها را از کد HTML استخراج می کنیم (منظورم آدرس صفحات است)(برای این کار باید از قواعد مربوط به عبارات قاعده مند (regular expressions) استفاده کنیم)، سپس چک می کنیم که ببینیم آخر کدام آدرس برابر عبارت mp4. می باشد. این آدرس، همان آدرس فایل مربوط به ویدئو می باشد.
برای دریافت کد HTML صفحه اینترنتی، من تا حالا با زبان java (برای اندروید) کار نکردم (باید کدهای مناسب برای آن را بیابید)، ولی در زبان PHP (در طراحی وب سایت)، برای http از تابع file_get_contents استفاده می شود و برای https ، کتابخانه curl به کار می رود.

البته بنده این موارد را به صورت یک روش کلی عرض کردم (یک روش کلی قابل اعمال به سایت های مختلف) و بهتر است با سایت آپارات هماهنگ کنید (که حقوق سایتشان حفظ شود و مثلا لوگوی آپارات در کنار ویدئوها قرار بگیرد تا کاربران منبع ویدئوها را بدانند).
زیرا حقوق ویدئوها متعلق به آپارات است و چنانچه این ویدئوها به صورت وسیع از سوی یک سایت یا برنامه دیگر عرضه شود، ممکن است شکایت کنند.
البته خود آپارات، کدهایی را برای نمایش ویدئوها در ((سایت های اینترنتی)) ارائه می کند (در خود صفحه مربوط به ویدئو)، بد نیست شما به آنها پیشنهاد بدهید که راهکاری هم برای ((برنامه های اندروید)) ارائه کنند. میشه همان کدها را در عنصر WebView به کار برد، ولی فکر نمی کنم جالب باشد.